Доходность облигаций. Теоретические основы финансового менеджмента Доходность облигации методом интерполяции

В соответствии с алгоритмом определения стоимости облигации, представленном в задаче 2.1, формула расчета цены облигации имеет вид:

где Р - цена облигации; С - купон в рублях; N - номинал;

n - число лет до погашения облигации; r - доходность до погашения облигации. Согласно формуле (2.1) цена облигации равна:

Задача 2.3.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9%.

Р = 1025,31 руб.

Задача 2.4.

Р = 1000руб.

Задача 2.5.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11%.

Р = 975,56 руб.

Вопрос 2.6.

Доходность до погашения облигации меньше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?

Цена облигации должна быть выше номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.2 и 2.3.

Вопрос 2.7.

Доходность до погашения облигации больше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?

Цена облигации должна быть ниже номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.5.

Вопрос 2.8.

Доходность до погашения облигации равна ее купону. Сколько стоит облигация?

Цена облигации равна номиналу. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.4.

Задача 2.9.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.

Когда купон выплачивается m раз в год, формула (2.1) принимает вид:

Согласно (2.2) цена облигации равна:

Примечание.

Данную задачу можно решить, используя формулу (2.1), только в этом случае периоды времени выплаты купонов следует учитывать не в купонных периодах, а, как и раньше, в годах. Первый купон выплачивается через полгода, поэтому для него время выплаты равно 0,5 года, второй купон выплачивается через год, для него время выплаты равно 1 год и т. д. Ставка дисконтирования учитывается в этом случае как эффективный процент на основе заданной доходности до погашения, т. е. она равна:

(1+0,08/2)^2 – 1 = 0,0816.

Согласно формуле (2.1) цена облигации составляет:

Задача 2.10.

Согласно (2.2) цена облигации равна 1017,94 руб.

Задача 2.11.

Р = 1000 руб.

Задача 2.12.

Р = 982,47 руб.

Задача 2.13.

Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 7%.

Р = 973,36 руб.

Задача 2.14.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 250 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.

Цена облигации определяется по формуле (2.1). Если до погашения облигации остается не целое число лет, то учитывается фактическое время выплаты каждого купона. Так, выплата первого купона произойдет в момент времени 250/365, второго купона в момент 1*250/365 и т. д.

Цена облигации равна:

Задача 2.15.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается одни раз в год. До погашения облигации 2 года 120 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%. База 365 дней.

Цена облигации равна:

Задача 2.16.

Номинал облигации 1000 руб., кунон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%. База 365 дней.

Р = 1091,47руб.

Задача 2.17.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 15 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11,5%.

Когда до погашения облигации много лет, непосредственно использовать формулу (2.1) довольно громоздко. Ее можно преобразовать к более удобному виду. Сумма дисконтированных стоимостей купонов облигации представляет собой не что иное как приведенную стоимость аннуитета . С учетом этого замечания формулу (2.1) можно записать как (Формулу (2.1) можно также преобразовать к виду:):

Задача 2.18.

Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 20 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9,7%.

Согласно (2.3) цена облигации равна:

Задача 2.19.

Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 30 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,5%.

Р = 918,56 руб.

Задача 2.20.

Номинал облигации 1000 руб., купон 3%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 25 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,3%.

Р = 803,20руб.

Задача 2.21.

Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации 18 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%.

P = 1023,75 руб.

Задача 2.22.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год.

До погашения облигации 6 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8,4% годовых.

Если купон по облигации выплачивается m раз в год, формулу (2.2) можно преобразовать к виду (Формулу (2.4) можно также преобразовать к виду:) :

Согласно формуле (2.4) цена облигации равна:

Задача 2.23.

Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,5% годовых.

Согласно (2.4) цена облигации равна:

Задача 2.24.

Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 10 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,75% годовых.

Р = 940,57 руб.

Задача 2.25.

Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 11 лет и 45 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.

Если до погашения облигации остается не целое число лет, то формулу (2.3) можно преобразовать к виду:

где t - количество дней до выплаты ближайшего купона;

n - количество полных лет до погашения облигации, т. е без учета не полного купонного периода.

Согласно (2.5) цена облигации равна:

Задача 2.26.

Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 14 лет и 77 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%. База 365 дней.

Р = 1059,52 руб.

Задача 2.27.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых.

По бескупонной облигации осуществляется только один платеж - в конце периода ее обращения инвестору выплачивается номинал. Поэтому ее цена определяется по формуле:

Согласно (2.6) цена облигации равна: 1000/1,12^5 = 567,43руб.

Задача 2.28.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых.

Р = 793,83 руб.

Задача 2.29.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 8 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6% годовых.

Р = 627,41 руб.

Задача 2.30.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет и 20 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых. База 365 дней.

Согласно (2.6) цена облигации равна:

Задача 2.31.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года и 54 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,4% годовых. База 365 дней.

Р = 875,25руб.

Задача 2.32.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 7 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых. По купонным облигациям купоны выплачиваются два раза в год.

Если по купонным облигациям купоны выплачиваются m раз в год, то это означает, что частота начисления сложного процента по инвестициям в облигации составляет m раз в год. Чтобы получить аналогичную частоту начисления процента по бескупонной облигации ее цену следует определять по формуле:

Согласно (2.7) цена облигации равна:

Задача 2.33.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 5% годовых. По купонной облигации купоны выплачиваются четыре раза в год.

P = 819,75 руб.

Задача 2.34.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4% годовых. База 365 дней.

Цена бескупонной краткосрочной облигации определяется по формуле:

где t - время до погашения облигации.

Согласно (2.8) цена облигации равна:

Задача 2.35.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 65 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 3,5% годовых. База 365 дней.

Р = 993,81 руб.

Задача 2.36.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 2% годовых. База 365 дней.

Р = 999,78 руб.

Задача 2.37.

Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. Облигация стоит 953 руб. Определить текущую доходность облигации.

Текушая доходность облигации определяется по формуле:

где rT - текущая доходность; С - купон облигации; Р - цена облигации.

Согласно (2.9) текущая доходность облигации равна:

Задача 2.38.

Номинал облигации 1000 руб., купон 8%. Облигация стоит 1014 руб. Определить текущую доходность облигации.

Задача 2.39.

Номинал облигации 1000 руб., купон 3,5%. Облигация стоит 1005 руб. Определить текущую доходность облигации.

Задача 2.40.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Облигация стоит 850 руб. Определить доходность до погашения облигации.

Доходность до погашения бескупонной облигации определяется по формуле (выводится из формулы 2.6):

Согласно (2.10) доходность облигации составляет:

Задача 2.41.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Облигация стоит 734 руб. Определить доходность до погашения облигации.

Задача 2.42.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года. Облигация стоит 857,52 руб. Определить доходность до погашения облигации.

Задача 2.43.

Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года и 120 дней. Облигация стоит 640 руб. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.

Задача 2.44.

Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 1 год 64 дня по 910 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год. База 365 дней.

Задача 2.45.

Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 120 дней по 873 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.

Задача 2.46.

Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через четыре года. Инвестор купил облигацию по 887,52 руб. и продал через 41 день по 893,15 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.

2) rэф = 5,79%.

Задача 2.47.

Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Облигация стоит 890 руб. Определить ориентировочно доходность до погашения облигации.

Доходность до погашения купонной облигации можно ориентировочно определить из формулы:

где r - доходность до погашения; N - номинал облигации; С - купон; Р - цена облигации; n - число лет до погашения.

Согласно (2.11) доходность равна:

Задача 2.48.

Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 6 лет. Облигация стоит 1053 руб. Определить ее доходность до погашения.

Задача 2.49.

Номинал облигации 1000 руб., купон 9%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 4 года. Облигация стоит 1040 руб. Определить ее доходность до погашения.

Замечание.

Для облигации, по которой купон выплачивается m раз в год, формула ориентировочной доходности примет следующий вид:

Однако в этом случае r является доходностью в расчете на один купонный период. Так, если m = 2, то получится доходность за полгода. Чтобы перевести полученную доходность в расчете на год, ее следует умножить на величину m. Таким образом, для расчета ориентировочной доходности по облигациям с выплатой купонов m раз в год, можно сразу пользоваться формулой (2.11).

Задача 2.50.

Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.48 методом линейной интерполяции.

Формула для определения доходности облигации методом линейной интерполяции имеет вид:

Техника вычисления доходности по формуле (2.13) сводится к следующему. Определив ориентировочную доходность облигации по формуле (2.11), инвестор выбирает значение r1, которое ниже полученного значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него соответствующую цену облигации Р1 по формуле (2.1) или (2.3). Далее берет значение r2, которое

выше значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него цену Р2. Полученные значения подставляются в формулу (2.13).

В задаче 2.48 ориентировочная доходность составила 6,93% годовых. Возьмем r1 = 6% . Тогда по формуле (2.3):

Возьмем r2 = 7% . По формуле (2.3):

Задача 2.51.

Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.47 методом линейной интерполяции.

В задаче 2.47 ориентировочная доходность составила 9,74% годовых. Возьмем r1 = 9% . По формуле (2.3):

Возьмем r2 = 10% . По формуле (2.3):

Согласно (2.13) точная доходность до погашения облигации равна:

Задача 2.52.

Определить точную доходность до погашения облигации к задаче 2.49 методом линейной интерполяции.

В задаче 2.49 ориентировочная доходность составила 7,84% годовых. Возьмем r1 = 7% . По формуле (2.4):

Возьмем r2 = 8%. По формуле (2.4):

Точная доходность до погашения облигации равна:

Задача 2.53.

Номинал краткосрочной бескупонной облигации 1000 руб., цена 950 руб. Облигация погашается через 200 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.

Доходность до погашения краткосрочной бескупонной облигации определяется по формуле:

Задача 2.54.

Номинал облигации 1000 руб., цена 994 руб. Облигация погашается через 32 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.

Согласно (2.14) доходность облигации равна:

Задача 2.55.

Номинал облигации 1000 руб., цена 981 руб. Облигация погашается через 52 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.

r = 13,6% годовых.

Задача 2.56.

Номинал облигации 1000 руб., цена 987,24 руб. Облигация погашается через 45 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней. Ответ. r = 10,48% годовых.

Задача 2.57.

Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.54.

Задача 2.58.

Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.56.

Ответ. rэф = 10,97%.

Задача 2.59.

Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 859 руб. За период владения облигацией купон по бумаге не выплачивался. Определить доходность операции инвестора: 1) в расчете на 57 дней; 2) в расчете на год на основе простого процента; 3) эффективный процент по операции. База 365 дней.

Задача 2.60.

Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 800 руб. В конце периода владения облигацией по бумаге был выплачен купон. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе простого процента. База 365 дней.

2.3. Реализованный процент (доходность)

Задача 2.61.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Через пять лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования представляет собой будущую стоимость аннуитета. Поэтому она составит:

Общая сумма средств, которые получит инвестор за пять лет, равна:

1000 + 635,29 = 1635,29 руб.

Задача 2.62.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 6% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования за четыре года равна:

С учетом выплаты номинала общая сумма средств по облигации через четыре года составит:

1000 + 349,97 = 1349,97 руб.

Задача 2.63.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%. выплачивается один paз в год. До погашения облигации шесть лет. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух дет он сможет реинвестировать купоны под 10%, а в оставшиеся четыре года под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Сумма купонов и процентов от их реинвестирования за первые два года (по первым двум купонам) составит:

(То есть через год инвестор получит первый купон и реинвестирует его на год под 10%, еще через год получит следующий купон. В сумме это даст 168 руб.) Полученная сумма инвестируется под 12% на оставшиеся четыре года:

168*1,12^4 = 264,35 руб.

Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:

1000 + 264,35 + 382,35 = 1646,7 руб.

Задача 2.64.

Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 6%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 7%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Инвестор имеет возможность реинвестировать первый и второй купоны под 7%. Третий купон будет выплачен при погашении облигации. Поэтому сумма купонов и процентов от их реинвестирования есть не что иное как трехлетний аннуитет. Fro будущая стоимость равна:

Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:

1000 + 192,89 = 1192,89 руб.

Задача 2.65.

Определить реализованный процент для условий задачи 2.64.

Реализованный процент - это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цене. Он определяется по формуле:

Задача 2.66.

Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Инвестор покупает облигацию за 950 руб. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что он сможет реинвестировать купоны под 8%. Определить реализованный процент по облигации, если вкладчик продержит ее до погашения.

Общая сумма средств на момент погашения облигации составит:

Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:

Задача 2.67.

Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при ее погашении, равна P(1+r)n, где n - время, остающееся до погашения бумаги.

Цена облигации равна:

Умножим левую и правую части равенства (2.16) на (1+r)n:

Равенство (2.17) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при горизонтальной структуре кривой доходности, равна P(1+r)n. Это следует из правой части равенства (2.17). В правой части первый купон, который инвестор получает через год, реинвестируется на период (n – 1), второй купон

на период (n – 2) и т. д. При погашении облигации выплачивается последний купон и номинал. Формула (2.17) показывает, что общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов равна инвестированию суммы равной цене облигации под существующий процент до момента погашения бумаги.

Задача 2.68.

Инвестор купил облигацию и продаст ее за t лет до момента погашения сразу после выплаты очередного купона. Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t), где n – t - время, которое инвестор будет владеть облигацией.

Цена облигации равна:

Инвестор планирует продать бумагу за t лет до ее погашения сразу после выплаты очередного купона, т. е. он продержит ее в течение n – t лет. Умножим левую и правую часть равенства (2.18) на (1+r)^(n – t):

В равенстве (2.19) последние слагаемые представляют собой не что иное как цену облигации, когда до ее погашения останется t лет, обозначим ее через Рt:

Поэтому запишем (2.19) как:

Равенство (2.20) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t).

Задача 2.69.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 887 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов (реализованную доходность), если процентная ставка останется на уровне 11%, и он продаст бумагу через три года.

Согласно формуле (2.20) общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией и продажи ее в момент t, равна P(1+r)^(n – t). Общая сумма дохода, полученная инвестором по облигации через три года равна:

Инвестор купил бумагу за 887 руб. Реализованная доходность равна:

Примечание.

В задаче 2.69 формулу определения реализованной доходности можно представить в одно действие:

где rr - реализованная доходность;

Pн - новая цена облигации после изменения процентной ставки на рынке;

Р - цена, по которой облигация была куплена;

r - процентная ставка, соответствующая новой цене облигации.

Задача 2.70.

Для условий задачи 2.69 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.

Согласно формуле (2.21) реализованная доходность по облигации за девять лет равна:

Задача 2.71.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 1064,18 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 8%, и цена ее выросла до 1134,20 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получт по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 8%, и он продаст бумагу через три года.

Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за три года равна:

Задача 2.72.

Для условий задачи 2.71 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.

Задача 2.73.

В задаче 2.71 инвестор после трех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10,32%. В задаче 2.72 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 9 лет получил реализованную доходность равную 8,77%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией снизилась.

В задачах 2.71 и 2.72 после покупки облигации ее доходность до погашения упала, следовательно, выросла цена. От падения ставки выиграл краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В то же время краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более низкий процент (8%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность долгосрочного инвестора будет ниже, чем у краткосрочного.

Задача 2.74.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось пятнадцать лет, за 928,09 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 12%, и цена ее упала до 863,78 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 12%, и он продаст бумагу через четыре года.

Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за четыре года равна:

Задача 2.75.

Для условий задачи 2.74 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через десять лет.

Задача 2.76.

В задаче 2.74 инвестор после четырех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10%. В задаче 2.75 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 10 лет получил реализованную доходность 11,2%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией выросла.

В задачах 2.74 и 2.75 после покупки облигации ее доходность до погашения выросла, следовательно, снизилась цена. От роста ставки теряет краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В дополнение к этому краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более высокий процент (12%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность для долгосрочного инвестора будет выше, чем у краткосрочного.

Задача 2.77.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Доходность до погашения облигации 12%. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 11%.

Реализованная доходность равна:

где Т - время, которое держит облигацию инвестор.

Найдем из (2.22) значение Т. Для этого преобразуем (2.22) следующим образом:

Возьмем от обеих частей (2.23) натуральный логарифм и вынесем показатель степени за знак логарифма:

Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:

Задача 2.78.

Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. Доходность до погашения облигации 12%. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 13%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.

При росте доходности до погашения до 13% цена облигации упала до 837,21 руб. Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:

Задача 2.79.

Для условий задачи 2.78 определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12,3%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.

Задача 2.80.

Инвестор купил купонную облигацию с доходность до погашения 8%. Номинал облигации 1000 руб., купон 8,5%, выплачивается одни paз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 8,2%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 8%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 8,2%. До погашения облигации 5 лет.

Инвестор купил облигацию по цене 1019,96 руб. После роста доходности до погашения цена облигации упала до 1011,92 руб. Инвестор должен продать облигацию через:

2.4. Дюрация

Задача 2.81.

Выведите формулу дюрации Маколея на основе определения дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке.

Согласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать:

где D - дюрации Маколея; Р - цена облигации; dP - небольшое изменение цены облигации; r - доходность до погашения облигации; dr - небольшое изменение доходности до погашения.

В формуле (2.25) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях.

В уравнении (2.25) отношение dP/dr это производная цены облигации по процентной ставке. На основе формулы цены облигации с выплатой купонов один раз в год (2.1) она равна:

Подставим в равенство (2.25) значение dP/dr из равенства (2.26):

Задача 2.82.

Поминал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Цена облигации равна:

Дюрация составляет:

Задача 2.83.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Согласно (2.27) дюрация равна:

Задача 2.84.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определить дюрацию Маколея облигации.

Цена облигации равна:

Дюрация составляет:

Задача 2.85.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 13%. Определить дюрацию Маколея облигации.

D = 3,46 года.

Вопрос 2.86.

Как зависит дюрация Маколея от величины доходности до погашения облигации?

Чем больше доходность до погашения, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.82 – 2.85.

Задача 2.87.

Номинал облигации 1000 руб. купон 6%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

D = 6,632 года.

Задача 2.88.

Номинал облигации 1000 руб. купон 6,5%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

D = 6,562 года.

Задача 2.89.

Номинал облигации 1000 руб. купон 7%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.

D = 6,495 года.

Вопрос 2.90.

Как зависит дюрация Маколея от величины купона облигации?

Чем больше купон, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2

Задача 2.91.

Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.

— , удостоверяющая отношения займа между кредитором — владельцем облигации и должником — эмитентом облигации.

Облигация удостоверяет внесение ее владельцем денежных средств и подтверждает обязательство возместить ему номинальную стоимость облигации в заранее установленный срок с уплатой фиксированного процента.

К основным параметрам облигации относятся: номинальная цена, выкупная цена в случае, если она отличается от номинальной, норма доходности и сроки выплаты процентов. Момент выплаты процентов оговаривается в условиях эмиссии и может производиться раз в год, по полугодиям или поквартально.

Способы выплаты дохода по облигации

В мировой практике используется несколько способов выплаты доходов по облигациям, в их числе:

установление фиксированного процентного платежа;
применение ступенчатой процентной ставки;
использование плавающей ставки процентного дохода;
индексирование номинальной стоимости облигации;
реализация облигаций со скидкой (дисконтом) против их нарицательной цены;
проведение выигрышных займов.

Установление фиксированного процентного платежа является распространенной и наиболее простой формой выплаты дохода по облигациям.

При использовании ступенчатой процентной ставки устанавливается несколько дат, по истечении которых владельцы облигаций могут либо погасить их, либо оставить до наступления следующей даты. В каждый последующий период ставка процентов возрастает.

Ставка процента по облигациям может быть плавающей , т.е. изменяющейся регулярно (каждые полгода и т.п.) в соответствии с динамикой учетной ставки центрального банка или уровнем доходности , размещаемых путем аукционной продажи.

В отдельных странах в качестве антиинфляционной меры практикуют выпуск облигаций с номиналом, индексируемым с учетом роста .

По некоторым облигациям проценты не выплачиваются. Их владельцы получают доход благодаря тому, что покупают эти облигации с дисконтом (скидкой против нарицательной стоимости), а погашают по номиналу.

Доход по облигациям может выплачиваться в форме выигрышей , достающихся отдельным их владельцам по итогам регулярно проводимых тиражей.

Курс облигации

Облигации, являясь объектом купли-продажи на , имеют рыночную цену, которая в момент эмиссии может быть равна номиналу, а также быть ниже или выше его. Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации . Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала. Курс облигации зависит от средней величины ссудного рыночного процента, существующего в данный момент, срока погашения, степени надежности эмитента и ряда других факторов.

Расчет курса производится по формуле:

Р к — курс облигации;
Р — рыночная цена;
N — номинальная цена облигации.

Доходность облигации

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Так, например, для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется:

купонной доходностью;
текущей доходностью;
полной доходностью.

Купонная доходность

Купонная доходность — норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону. Платежи по купонам могут производиться раз в квартал, по полугодиям или раз в год.

Например, на облигации указана купонная доходность в 11,75% годовых. Номинал облигации — 1,0 тыс. руб. На каждый год имеется два купона. Это значит, что облигация принесет полугодовую прибыль 58,75 руб. (1,0 . 0,1175 . 0,50), а за год — 117,5 руб.

Текущая доходность

Текущая доходность (CY ) облигации с фиксированной ставкой купона — определяется как отношение периодического платежа к цене приобретения.

Текущая доходность характеризует выплачиваемый годовой процент на вложенный капитал, т.е. на сумму, уплаченную в момент приобретения облигации. Текущая доходность определяется по формуле:

Например, если купонная доходность — 11,75%, а курс облигации — 95,0, то ее текущая доходность составит:

Вместе с тем текущая доходность не учитывает изменения цены облигации за время ее хранения, т.е. другого источника дохода.

Текущая доходность продаваемых облигаций меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной (зафиксированной) величиной, так как ставка купона остается неизменной. Нетрудно заметить, что текущая доходность облигации, приобретенной с дисконтом, будет выше купонной, а приобретенной с премией — ниже.

Показатель текущей доходности не учитывает курсовую разницу между ценой покупки и погашения. Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению.

Доходность к погашению

Доходность к погашению (YTM) — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая устанавливает равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации и её рыночной ценой .

Рассмотрим некоторые важнейшие свойства этого показателя. По сути он представляет собой внутреннюю доходность инвестиции (IRR). Однако, реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий:

Очевидно, что независимо от желаний инвестора второе условие достаточно трудно выполнить на практике.

В таблице приведены результаты расчета доходности к погашению облигации, приобретенной в момент выпуска по номиналу в 1000 с погашением через 20 лет и ставкой купона 8%, выплачиваемого раз в год, при различных ставка реинвестирования.

Зависимость доходности к погашению от ставки реинвестирования

Из приведенных расчетов следует, что между доходностью к погашению и ставкой реинвестирования купонного дохода существует прямая зависимость. С уменьшением будет уменьшаться и величина , с ростом величина будет также расти.

Полная доходность

Полная доходность учитывает все источники дохода. В ряде экономических публикаций показатель полной доходности называют ставкой помещения . Определив ставку помещения в виде годовой ставки сложных или простых процентов, можно судить об эффективности приобретенной ценной бумаги.

Начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения дает доход, эквивалентный фактически получаемому по ней доходу за весь период обращения этой облигации до момента ее погашения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

При определении доходности облигации учитывается цена приобретения (рыночная цена), которая сама зависит от ряда факторов. Покупатель облигации в момент ее приобретения рассчитывает на получение дохода в виде серии твердых выплат в форме фиксированных процентов, которые осуществляются в течение всего срока ее обращения, а также возмещение ее номинальной стоимости к концу этого срока.

Поэтому если ежегодно получаемые по облигациям выплаты будут помещены на банковский депозит или инвестированы каким-либо иным образом и станут приносить ежегодный процентный доход то стоимость облигации будет равна сумме двух слагаемых — современной стоимости ее аннуитетов (серии ежегодных выплат процентных платежей) и современной стоимости ее номинала:

(9.3)

В случае когда облигация предусматривает выплату процентов по полугодиям или поквартально, курсовая стоимость облигации рассчитывается по формулам:

Пример. По облигации номинальной стоимостью 10,0 тыс. руб. в течение 10 лет (срок до ее погашения) будут выплачиваться ежегодно в конце года процентные платежи в сумме 1,0 тыс. руб. (g= 10%), которые могут быть помешены в банк под 11% годовых. Определим цену облигации при разных процентных ставках.

Рыночная цена облигации по формуле (9.3) составит:

Иногда бухгалтерам приходится работать с рыночными графиками и ставками, особенно в свете последних изменений в МСФО. Рассмотрим, как можно экстраполировать кривую доходности для оценки нерыночной облигации по справедливой стоимости.

Представим, что вам необходимо сделать оценку корпоративных облигаций на конец года в соответствии с МСФО (IFRS) 9 по справедливой стоимости (FV) . Если ни одна из этих облигаций не продается на открытом рынке, то поиск рыночных данных не решит проблему.

Один из вариантов решения проблемы - аутсорсинг оценки этих облигаций у довольно дорогостоящего эксперта по оценке. Однако в нынешних финансовых реалиях все сокращают расходы, поэтому, руководство финансовых служб часто приходит к вопросам:

Можно ли сделать это как-то самим?
Есть ли простой метод оценки доходности облигаций , который можно выполнить с помощью простых средств, без дорогостоящего программного обеспечения - только с тем, что у нас уже есть?

В этом случае нужна экстраполяция кривой доходности . Это метод быстрый, простой, его без труда можно выполнить в Excel, и результат (если он правильный) будет положительно принят большинством аудиторов.

Можно возразить, что существуют более точные методы оценки или ценообразования при учете облигаций , такие как безарбитражная цена , относительная цена и многие другие. Это все верно, тем не менее для бухгалтера этот метод, по крайней мере, так же хорош, как и другие, - поскольку она/он может обосновать свой выбор базовой информации для кривой доходности.

Что такое кривая доходности?

Кривая доходности - это просто соотношение между числом лет до погашения и доходностью к погашениюопределенной облигации.

Число лет до погашения ("years-to-maturity") - это оставшийся срок до погашения облигации, выраженный в годах. На кривой доходности он представляет ось X.

Доходность к погашению (YTM, от англ. "yield to maturity") представляет собой фактическую процентную ставку , по которой облигации приносят доход с текущего момента до окончательной даты их погашения.

YTM зависит от:

купона облигации (регулярные номинальные процентные платежи эмитентом облигации),
текущей рыночной цены облигации (или ваших текущих инвестиций в приобретение этой облигации),
цены погашения облигации (по ее номинальной доходности или какой-либо другой сумме) и, конечно,
оставшегося срока до погашения.

Проще говоря, доходность к погашению - это внутренняя норма доходности облигации по текущей рыночной цене и ее расчет схож с финансовым показателем IRR .

На кривой доходности YTM представляет собой ось Y.

Для получения кривой доходности вам нужны данные не менее двух пар данных для осей X и Y, но, конечно, большее число данных дает вам более точную кривую доходности.

Типичная кривая доходности будет выглядеть следующим образом:

Как вы можете видеть, она наклоняется вверх . Что это значит? Это означает, что более короткая облигация (т.е. с более коротким сроком погашения) имеет более низкую доходность или реальную ставку процента интерес ("real interest") и наоборот.

Обычно это нормально, потому что более длительные сроки погашения обычно несут больше кредитных рисков, больше инфляционных рисков и т. д. И поэтому инвесторы требуют более высокой доходности.

Иногда кривая доходности наклоняется вниз . В этом случае она называется инвертированной кривой доходности ("inverted yield curve") и может быть признаком рецессии.

Иногда кривая доходности может иметь плоскую форму . В таком случае рынок просто не знает, что думать, поскольку нет никакой разницы между доходами от краткосрочных и долгосрочных ценных бумаг, а рыночные ожидания просто сбивают с толку.

Как определить рыночную цену облигации по кривой доходности?

Кривая доходности представляет собой определенную трендовую линию зависимости между годами до погашения и доходностью к погашению и составлена на основе данных о нескольких или многих разных облигациях с разным числом лет до погашения, разными рыночными ценами и т. д.

Помните это линия тренда, поэтому, если вы берете какую-либо отдельную пару данных и пытаетесь добавить ее на кривую, она не обязательно может лежать на кривой, а оказаться где-то рядом.

Для оценки облигации мы предполагаем, что:

связь между годами к погашению и доходностью к погашению вашей конкретной облигации копирует линию тренда для облигаций с доступными рыночными данными.

Или, другими словами, мы предполагаем, что ваша облигация находится на кривой доходности.

Опираясь на это, если вы можете нарисовать (экстраполировать) кривую доходности облигаций с доступными рыночными данными на определенную дату. Имея эту кривую вы можете легко получить доходность к погашению для любой облигации, не имея фактических рыночных данных на эту дату.

Вы просто ищете на своей кривой доходность к погашению для определенного срока погашения. После того, как вы определили доходность к погашению, число лет до погашения, купон, цену погашения и другую необходимую информацию, вы можете определить расчетную рыночную цену облигации или приемлемую справедливую стоимость на дату отчетного периода.

Это выглядит просто. Но есть несколько вещей, которым нужно уделить внимание. Разложим весь процесс на несколько шагов.

1. Найдите соответствующие рыночные данные.

Это особенно важно и очень субъективно, потому что, чтобы нарисовать соответствующую кривую доходности, вы должны выбрать определенные облигации. Но какие именно облигации?

В общем, вы должны выбрать облигации с самыми близкими возможными характеристиками к той облигации, которую вы оцениваете. Это означает, что вам нужны облигации из аналогичной отрасли или страны, чтобы их рыночные данные отражали риски, схожие с вашей облигацией.

В то же время вы должны подготовить хорошее обоснование своего выбора - на всякий случай, для очень добросовестных аудиторов.

2. Рассчитайте доходность к погашению для выбранных рыночных облигаций.

Биржевые сайты обычно содержат информацию о текущей рыночной цене облигации (или на указанную дату закрытия), купоне, дате погашения и цене погашения. Иногда они также содержат информацию о доходности к погашению, но не всегда.

Если нет, вы должны вычислить YTM самостоятельно, используя соответствующую формулу Еxcel «YIELD» или «ДОХОД» в русской версии. Просто введите в нее собранные данные:

Settlement (дата_согл) : Дата, на которую выполняется расчет
Maturity (дата_вступл_в_силу) : Дата погашения облигации
Rate (ставка) : Купон
Pr (цена) : Текущая цена
Redemption (погашение) : Цена погашения
Frequency (частота) : Число купонных выплат в год

В Excel также есть более подробная справка по этой функции.

3. Нарисуйте кривую доходности.

Вам нужно составить заготовку таблицы, в которую вы будете вводить данные выбранных облигаций, включающие пары данных: число лет до погашения и доходность к погашению. Т.е. это самая обычная таблица с двумя рядами значений.

Используя ее, создайте стандартными средствами Excel график, где

ось X = годы до погашения и
ось Y = доходность к погашению.

Excel также может добавить линию тренда к вашему графику вместе с математической формулой, выражающей связь линии тренда. Эта формула именно то, что вам нужно.

4. Рассчитайте доходность к погашению оцениваемой облигаций.

После того как вы создали образец таблицы для расчета отношений между годами до погашения и доходностью к погашению отобранных облигаций, вы можете использовать его для расчета доходности к погашению любой облигации, которую вы хотите оценить.

Просто замените в формуле неизвестную для оцениваемой облигации YTM значениями фактических рыночных данных выбранных ценных бумаг.

5. Определите рыночную цену оцениваемой облигации.

Для последнего шага нужно использовать формулу «PRICE» или «ЦЕНА». Она использует те же параметры, что и функция «YIELD».

В этой формуле вы оцениваете рыночную цену некотируемой оцениваемой облигации на основе ее характеристик, включая ее доходность к погашению, определенную в шаге 4.

В результате вы получаете оценку справедливой стоимости некотируемой облигаций на нужную дату.

Может показаться, что это слишком сложно. Но это не так. Фактически, это вопрос грамотного поиска в интернете финансовых данных о котирующихся облигациях в сочетании с вашим опытом работы с MS Excel.

Цена облигации, продающейся с дисконтом, при условии неизменной требуемой доходности растет. Обратный процесс происходит с ценой облигации, продающейся с премией. Цена обеих облигаций в момент погашения равняется номинальной стоимости. Симметричные разности между требуемой доходностью и купонной ставкой преобразуются в асимметричные разности между ценой облигации и ее номинальной стоимостью. В частности, цена облигации при снижении доходности растет в бóльшей степени, чем она падает при росте доходности.

Доходность облигаций. В общем случае под доходностью любой инвестиции понимается процентная ставка, которая позволяет уравнять приведенную стоимость денежных потоков конкурентной инвестиции с ценой (стоимостью) инвестиции.

Доходность бескупонной облигации – это годовая ставка процента, получаемая инвестором, купившим и владеющим данной облигацией до момента ее погашения.

Если то .

Определение доходности по купонной облигации. Для купонной облигации различают текущую доходность и внутреннюю ставку дохода или доходность к погашению.

Текущая доходность определяется по формуле:

где rт – текущая доходность;

С – купонный доход по облигации (купон);

Р – текущая цена облигации.

Внутреннюю доходность можно рассчитывать по формуле оценки рыночной цены облигации:

К сожалению, данное уравнение не решается в конечном виде: определить доходность можно только с помощью специальной компьютерной программы.

М/воспользоваться методом подстановки в формулу цены облигации различных значений внутренней доходности с расчетом соответствующих им цен. Операцию повторяют до тех пор, пока значение рассчитанной цены не совпадет с заданной ценой облигации. Блок-схема алгоритма данного расчета приводится на рис. 4.

Рис. 4. Алгоритм расчета дох-ти купонной облигации

В ряде случаев для принятия финансового решения достаточно определить только приближенный (ориентировочный) уровень доходности облигации. Он может быть использован в качестве исходного уровня доходности в первом блоке рассмотренного выше алгоритма.

Традиционно используемая формула расчета приближенного уровня доходности облигации имеет вид:

где r – внутренняя доходность (доходность к погашению); N – номинальная стоимость облигации; Р – цена облигации; n – количество лет до погашения; С – купонный доход;

В ряде случаев лучшее приближение дает формула Р. Родригеса

Эта формула дает хорошее приближение при условии невысокого уровня купонной ставки (ниже 50% годовых) и близких значений цены облигации и ее номинальной стоимости. В частности, если цена отличается от номинала более чем в 2 раза, то применение обеих формул расчета приближенных оценок недопустимо.

Погрешность расчетов по формулам приближенных оценок тем выше, чем больше лет остается до погашения облигации.

Для ускорения процесса расчета внутренней доходности облигации может быть использована также формула линейной интерполяции:

где r 1 , r 2 – значения соответственно заниженного и завышенного уровней ориентировочной доходности облигаций; Р 1 , Р 2 – расчетные рыночные цены облигации, соответствующие уровням доходности r 1 и r 2 ;

Р – фактическая (действительная) цена облигации на фондовом рынке.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что доходность к погашению позволяет оценить не только текущий (купонный) доход, но и размер прибыли или убытка, ожидающих капитал инвестора, остающегося владельцем облигации до ее погашения эмитентом. Кроме того, доходность к погашению принимает в расчет временные параметры денежных потоков.

Соотношение основных параметров облигации

Облигация продается	Соотношение между параметрами облигации
По номиналу	Купонная ставка = Текущая доходности = Доходность к погашению
С дисконтом	Купонная ставка < Текущая доходности < Доходность к погашению
С премией	Купонная ставка > Текущая доходности > Доходность к погашению

Купонная доходность (dk) , устанавливаемая при выпуске облигации, рассчитывается по формуле:

dk = C 100% / N, (12.1)

где С – годовой купонный доход в денежных единицах;

N – номинальная цена облигации.

Купонный доход по облигациям выплачивается периодически. При продаже облигаций в дни, не совпадающие с днями выплаты текущего дохода, покупатель и продавец должны разделить между собой сумму процентов. С этой целью покупатель уплачивает продавцу помимо рыночной цены облигации проценты, причитающиеся за период, прошедший с момента их последней выплаты, - так называемый накопленный купонный доход. Сам же покупатель при наступлении следующей даты выплаты купонного дохода получит его полностью за весь купонный период. Таким образом, сумма процентов распределяется между различными владельцами облигации.

Накопленный купонный доход (А) можно рассчитывать по формуле:

А = С t / 365, (12.2)

где t - количество дней со дня выплаты последнего купонного дохода до дня продажи.

Текущая доходность (d T) , оценивающий только текущий доход по отношению к текущему рыночному курсу:

d T = C 100% / PV , (12.3)

где PV – текущий рыночный курс облигации.

Вторая форма дохода происходит от изменения со временем рыночного курса облигации. В терминологии бухгалтерского учета, налогообложения и финансов эти изменения курсов известны как прирост капитала или убытки капитала .

Наиболее употребляемой мерой доходности является показатель заявленной доходности или доходности к погашению (d n ), который учитывает как процентный доход, так и рост курса. Для его определения используется метод вычисления приблизительной доходности, который является достаточно точным:

где N – номиналоблигации;

n – количество лет до погашения облигации.

Показатель реализованной доходности (d b ) предполагает, что инвестор не будет держать облигацию до погашения. Для вычисления данного показателя необходимо оценить ожидаемый курс продажи:

где PVs - ожидаемый курс продажи облигации;

PVb – курс покупкиоблигации;